实数理论（完备性） → 数列极限 → 函数极限 → 连续性 → 微分 → 积分 → 级数

实数理论

循环小数化分数

完备性（连续性）公理

柯西序列（基本列）

确界原理

稠密性

极限

极限的本质是"无限逼近"。如果没有一个"完备"的数系作为落脚点，"逼近到哪里"就无从谈起。 实数的完备性 = 极限存在的保证

极限的精确定义（ε -δ 定义）（数列极限是ε -N 定义）

设函数 (f(x)) 在点 (a) 的某去心邻域内有定义，若存在常数 ($L$)

$$ \lim_{x\to a}f(x)=L \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0, \text{ 当 }0<|x-a|<\delta\text{ 时，有 }|f(x)-L|<\varepsilon $$

收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性）

夹逼定理（Squeeze Theorem）

实数完备性
    │
    ├── 确界原理 ──→ 单调有界定理（递增+上界 ⇒ 收敛）
    │
    └── 致密性定理 ──→ 柯西收敛准则（柯西列 ⇔ 收敛）
              │
              └── 子列收敛法证明柯西准则

单调有界定理（Monotone Convergence Theorem）

柯西收敛准则（Cauchy Convergence Criterion）