Motivation：$\varepsilon$-$N$ 定义需要预先知道极限值 $A$ 才能验证。但很多数列（如递推定义、级数部分和）的极限值根本无法事先猜出。我们需要一个不需要知道 $A$ 就能判断收敛的准则。

1. 定理内容

单调递增有上界的数列必收敛。

单调递减有下界的数列必收敛。

📄 严格表述

设 $\{a_n\}$ 是实数列：

• 若 $a_n \le a_{n+1}$（递增）且 $\exists M$ 使 $a_n \le M$（有上界），则 $\{a_n\}$ 收敛
• 若 $a_n \ge a_{n+1}$（递减）且 $\exists m$ 使 $a_n \ge m$（有下界），则 $\{a_n\}$ 收敛

2. 证明思路（递增版，依赖实数完备性）

由确界原理（实数完备性），非空有上界的集合必有上确界。设：

$$ A = \sup\{a_n\} $$

断言：$\lim_{n \to \infty} a_n = A$

验证：对任意 $\varepsilon > 0$，由上确界定义：

• $A$ 是最小上界，所以 $A - \varepsilon$ 不是上界
• 故 $\exists N$，使得 $a_N > A - \varepsilon$
• 又因数列递增，当 $n > N$ 时 $a_n \ge a_N > A - \varepsilon$
• 同时 $a_n \le A < A + \varepsilon$（$A$ 是上界）

于是当 $n > N$ 时：

$$ A - \varepsilon < a_n \le A < A + \varepsilon \implies |a_n - A| < \varepsilon $$

由 $\varepsilon$-$N$ 定义，$\lim a_n = A$。

📄 核心依赖：整个证明只用了一个事实——实数有上确界。这正是为什么单调有界定理必须建立在实数完备性之上，在有理数 $\mathbb{Q}$ 中不成立。