Motivation：有些数列的极限直接求很困难，但我们能找到两个"邻居"把它夹在中间，而这两个邻居的极限相同——那中间这个数列的极限也只能是这个值。

1. 数列版本

设 $\{x_n\}, \{y_n\}, \{z_n\}$ 满足：

1. 夹住：存在 $N_0$，当 $n > N_0$ 时，$y_n \le x_n \le z_n$
2. 两边收敛到同一值：$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} z_n = A$

则：

$$ \lim_{n \to \infty} x_n = A $$

2. 函数版本

设 $f(x), g(x), h(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内满足：

1. 夹住：$g(x) \le f(x) \le h(x)$
2. 两边收敛：$\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L$

则：

$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = L $$

两个版本本质相同：被"夹"的对象无法逃逸，只能跟着两边一起趋向同一个极限。

4. 经典例子

例 1：有界量除以无穷大

求 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$

因为 $-1 \le \sin n \le 1$，所以：

$$ -\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n} $$

而 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$，故：