Motivation：极限定义告诉我们"什么叫收敛"，这三条性质告诉我们"收敛之后必然伴随什么特征"——它们是后续推导（单调有界、四则运算、夹逼定理）的公理化基石。
若数列 $\{a_n\}$ 收敛，则其极限唯一。
📄 直观：一个数列不可能同时无限逼近两个不同的数。如果它既要挤到 $A$ 身边，又要挤到 $B$ 身边，而 $A \neq B$，那当 $n$ 足够大时 $|A-B|$ 会被迫小于任意小的 $\varepsilon$，这不可能。
📄 证明思路（反证法）
设 $\lim a_n = A$，$\lim a_n = B$，且 $A \neq B$。取 $\varepsilon = \frac{|A-B|}{2} > 0$。
由极限定义：
取 $N = \max\{N_1, N_2\}$，当 $n > N$ 时：
$$ |A-B| \le |a_n-A| + |a_n-B| < 2\varepsilon = |A-B| $$
矛盾！故 $A = B$。
若数列 $\{a_n\}$ 收敛，则 $\{a_n\}$ 必有界。
📄 直观：收敛意味着"尾巴"全部挤进极限 $A$ 的一个 $\varepsilon$ 邻域里。而"头部"（前有限项）天然只有有限个数。有限个数 + 有界的尾巴 = 整体有界。
📄 证明
设 $\lim a_n = A$。取 $\varepsilon = 1$，则 $\exists N$，当 $n > N$ 时 $|a_n - A| < 1$，即：
$$ |a_n| < |A| + 1 \quad (n > N) $$
令 $M = \max\{|a_1|, |a_2|, \dots, |a_N|, |A|+1\}$，则对所有 $n$ 都有 $|a_n| \le M$。
📄 注意：逆命题不成立。有界数列不一定收敛，例如 $a_n = (-1)^n$。