设 $S\subset \mathbb{R}$。
如果存在一个数 $\eta$，使得对任意 $x\in S$，都有：
$$ x\le \eta $$
那么 $\eta$ 就是 $S$ 的一个上界。
类似地，如果存在一个数 $\xi$，使得对任意 $\xi \in S$，都有：
$$ \xi\le x $$
那么 $\xi$ 就是 $S$ 的一个下界。
如果 $S$ 有很多下界，其中最大的那个下界，叫做 $S$ 的下确界，记作：
$$ \inf S $$
如果 $S$ 有很多上界，其中最小的那个上界，叫做 $S$ 的上确界，记作：
$$ \sup S $$
例如：
$$ S=(0,1) $$
它的下界有 $0,-1,-2,\ldots$，其中最大的下界是 $0$，所以：
$$ \inf S=0 $$
它的上界有 $1,2,3,\ldots$，其中最小的上界是 $1$，所以：
$$ \sup S=1 $$
注意：$0\notin(0,1)$，$1\notin(0,1)$，但它们仍然可以分别是下确界和上确界。