柯西序列描述的是：一个数列的项与项之间越来越接近，而不是直接描述它们接近某个具体极限。

设数列为：

$$ \{a_n\} $$

如果对任意小的正数 $\epsilon>0$，都存在一个正整数 $N$，使得当 $m,n>N$ 时，总有：

$$ |a_n-a_m|<\varepsilon $$

(意思是：只要下标足够大，后面的任意两项之间都可以靠得任意近。)

那么称 $\{a_n\}$ 是一个柯西序列，也叫基本列。

直观理解

普通收敛数列说的是：

$$ a_n\to A $$

也就是数列越来越靠近某个确定的数 $A$。

柯西序列说的是：

$$ a_n \text{ 和 } a_m \text{ 越来越靠近彼此} $$

它不要求提前知道极限是谁。

例如：

$$ 1,\ 1.4,\ 1.41,\ 1.414,\ 1.4142,\cdots $$

这些数越来越接近 $sqrt{2}$，后面的项之间也越来越接近，所以它是柯西序列。

在实数中，它收敛到：

$$ \sqrt{2} $$

但如果只看有理数域 $\mathbb{Q}$，它虽然每一项都是有理数，却没有有理数极限，因为：