极限定理描述样本量趋于无穷大时统计量的行为，是统计推断的理论基础。

12.1 大数定律（Law of Large Numbers, LLN）

设 $X_1,X_2,\dots$ 为独立同分布，$\mu=\mathbb{E}[X_i]$。

样本均值 $\bar{X}n=\frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}X_i$

则

$$ \bar{X}_n\xrightarrow{\text{a.s.}}\mu\quad(n\to\infty) $$

即样本均值几乎必然收敛到真均值。

• LLN：抛 10000 次硬币，正面频率 几乎必然 接近 0.5

12.2 中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）

在 LLN 条件下，再设 $\sigma^{2}=\mathrm{Var}(X_i)$ 有限，则

$$ \sqrt{n}\,\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\xrightarrow{d}\mathcal N(0,1) $$

意味着标准化误差渐近服从正态，奠定了置信区间和假设检验的基础。

• CLT：抛 n 次，正面次数的标准化误差分布越来越像钟形曲线

12.3 斯卢茨基定理 & 连续映射定理

• 斯卢茨基：若 $X_n\xrightarrow{d}X$ 且 $Y_n\xrightarrow{p}c$，则 $X_n Y_n \xrightarrow{d}cX$。
• 连续映射：若 $X_n\xrightarrow{d}X$，连续函数 $g$ 满足适当条件，则 $g(X_n)\xrightarrow{d}g(X)$。

这些工具帮助把 CLT 推广到更复杂的统计量（比率、对数、非线性函数等）。