📺 多维随机变量与联合分布

📄 边缘分布 — 从联合分布中提取单个变量的分布

• 离散型：$P(X=x_i) = \sum_j p_{ij}$
• 连续型：$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy$

📄 条件分布 — 已知一个变量取值时，另一个变量的分布

• 离散型：$P(X=x_i \mid Y=y_j) = \frac{p_{ij}}{P(Y=y_j)}$
• 连续型：$f_{X\mid Y}(x\mid y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

📄 独立性

• $X$ 与 $Y$ 独立 $\iff F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$
• 连续型：$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$
• 离散型：$p_{ij} = P(X=x_i)P(Y=y_j)$

📺 数字特征

📄 协方差的性质

• $\mathrm{Cov}(X,Y) = E(XY) - EX \cdot EY$
• $\mathrm{Cov}(aX+b, cY+d) = ac\,\mathrm{Cov}(X,Y)$
• $D(X+Y) = DX + DY + 2\mathrm{Cov}(X,Y)$