之前的LLN / CLT 给出渐近结论（$n \to \infty$），三大分布给出有限样本的精确分布

三大抽样分布是数理统计的基石，它们描述了从正态总体中抽样时，统计量的精确分布

三大抽样分布

1. 卡方分布 $\chi^2(n)$

📄 构造：设 $X_1, \dots, X_n \overset{iid}{\sim} N(0,1)$，则

$$ Q = \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n) $$

即 $n$ 个独立标准正态变量的平方和，自由度为 $n$。

📄 性质

• $E[Q] = n$，$D[Q] = 2n$
• 可加性：若 $Q_1 \sim \chi^2(n_1)$，$Q_2 \sim \chi^2(n_2)$ 且独立，则 $Q_1+Q_2 \sim \chi^2(n_1+n_2)$
• 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{Q-n}{\sqrt{2n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$（由 CLT）

📄 用途

• 样本方差的分布：$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
• 拟合优度检验、独立性检验（列联表）

2. $t$ 分布 $t(n)$

📄 构造：设 $Z \sim N(0,1)$，$Q \sim \chi^2(n)$，且 $Z \perp Q$，则

$$ T = \frac{Z}{\sqrt{Q/n}} \sim t(n) $$

即 标准正态除以"卡方除自由度开根号"。