对于连续型随机变量 $X$，用 **概率密度函数（PDF, $f_X(x)$）**描述其分布，满足

$$ P(a<X<b)=\int_a^b f_X(x)\,dx,\quad \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx=1 $$

对应的**累积分布函数（CDF）**为

$$ F_X(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,dt $$

1. 均匀分布（Uniform Distribution）

若 $X$ 在区间 $[a,b]$ 内“等可能”出现，则

$$ X\sim\mathrm{Uniform}(a,b) $$

PDF

$$ f_X(x)=\frac{1}{b-a},\; a\le x\le b;\quad f_X(x)=0\text{ otherwise} $$

CDF

$$ F_X(x)=\begin{cases}0,&x<a\\[2pt]\dfrac{x-a}{b-a},&a\le x\le b\\[2pt]1,&x>b\end{cases} $$

期望与方差

$$ \mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2},\quad \mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12} $$

2. 正态分布（Normal / Gaussian Distribution）

正态分布（Normal Distribution）也叫高斯分布，是统计学中最常见的一种连续型概率分布。它的图像呈现出一个对称的钟形曲线，所以也常被称为“钟形曲线”。

很多自然现象都近似服从正态分布，例如：

• 人的身高