试根法（有理根定理）

解整数系数高次方程时，可以用常数项的正负因数来试根。若有理数 $\frac{p}{q}$ 是方程的根，则：

• p 是常数项的因数
• q 是最高次项系数的因数

例如方程 $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$，常数项 -6 的因数有 ±1, ±2, ±3, ±6，最高次项系数为 1，因此可能的有理根为 ±1, ±2, ±3, ±6。代入验证即可找到根。

多项式长除法

找到根后，用长除法（或综合除法）将高次多项式降次。

设 $f(x) = (x - a) \cdot q(x) + r$，其中 $q(x)$ 是商式，r 是余数。若 $f(a) = 0$，则 $(x - a)$ 是 $f(x)$ 的因式。

长除法步骤

1. 将被除式和除式都按降幂排列
2. 用被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商的第一项
3. 将该项乘以除式，从被除式中减去
4. 将得到的余式作为新的被除式，重复上述步骤直到余式次数低于除式

最终得到：

$$ f(x) = (x - a) \cdot q(x) + r $$

若余数 r = 0，则 $(x - a)$ 整除 $f(x)$。

广义二项展开式

记录时间：2021年2月13日