不等式放缩

三角不等式

$$ |a| - |b| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b| $$

ALG不等式（对数平均不等式）

$$ \frac{x_1 + x_2}{2} > \frac{x_1 - x_2}{\ln x_1 - \ln x_2} > \sqrt{x_1 x_2} $$

其中中间项为对数平均：$L(x_1, x_2) = \frac{x_1 - x_2}{\ln x_1 - \ln x_2}$（x₁ ≠ x₂）

基本不等式及其变形

对于正实数 a, b > 0，有以下不等式链：

$$ \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geq \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} $$

当且仅当 $a = b$ 时，以上各式均取等号。

• 平方平均（Q）$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$
• 算术平均（A）$\frac{a + b}{2}$
• 几何平均（G）$\sqrt{ab}$
• 调和平均（H）$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a+b}$

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记忆口诀：平方 > 算术 > 几何 > 调和（Q ≥ A ≥ G ≥ H）

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指数函数

1. 对任意实数 $x$，有：