数列基本概念

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本页围绕数列与递推数列的核心知识展开：先介绍数列的定义、性质与表示方法，再进一步讲解如何由递推关系求通项公式，重点包括线性递推、特征方程（特征根法）、不动点和平移化归等常见方法。内容同时配有一阶、二阶递推、斐波那契数列及分式递推等典型例题与技巧总结。

• 基础部分：数列的定义、顺序性、函数性，以及通项公式、递推公式、列举法等表示方式。
• 方法部分：一阶与二阶线性递推、特征根法、通解形式，以及由递推式转化为显式公式的思路。
• 技巧部分：利用不动点、平移化归处理非齐次递推，并总结常见解题捷径。
• 例题部分：包含斐波那契数列与分式递推数列等典型模型，便于理解方法的实际应用。

数列是一种特殊的函数，是按照一定顺序排列的一列数。它定义在正整数集或其子集上，可以记为 $\{a_n\}$，其中 $a_n$ 表示第 n 项。

数列的主要性质

• 顺序性：数列中的数有严格的顺序，不能颠倒
• 互不相同性：数列的项可以相等，但相邻两项通常不同
• 函数性：数列本质上是一个从正整数到实数的函数

数列的表示方法

• 通项公式：用 $a_n = f(n)$ 表示数列的一般项
• 递推公式：用相邻项之间的关系表示，如 $a_{n+1} = a_n + d$
• 列举法：直接列出数列的若干项

线性递推与特征方程（特征根法）

<aside> 💡 **💡 核心难点：**递推式给出的是相邻项的关系，而目标是求解 $x_n$ 的通项公式。特征根法的本质是将其转化为“等比形式”的叠加。

</aside>

1）一阶线性递推：$x_{n+1}=p x_n + q$