$P(B|A)$：在A发生的前提下B发生的概率(⚠️不是两者同时发生的概率！)

可以将条件概率视作样本空间的改变，是外界信息对experiment产生的一种影响。

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

$P(A_1…,A_n )=P(A_1 )P(A_2∣A_1 )P(A_3∣A_1,A_2 )⋯P(A_n∣A_1,…,A_(n−1) )$

<aside> ⭐ 贝叶斯公式

$P(A∣B)=\frac{P(B∣A)P(A)}{P(B)}$

直接应用：根据实验发生的结果推断假说的可信度——已经有结果B，那么A假说的可信度

LOTP版本

$P(A_i∣B)=\frac{P(B∣A_i )P(A_i )}{P(A_1 )P(B∣A_1 )+⋯+P(A_n )P(B∣A_n )=P(B)}$

</aside>

典型案例：

这是垃圾邮件吗spam emails（略）、劳斯莱利与羊（非常经典）（启发：主持人的开门这一事件传递了信息，从而影响了概率）

• 两枚硬币拿了哪个

技巧：如果同时面对多个条件，可以使用$\hat{P}(⋅)=P(⋅│E)$来从形式上消解条件。放心，$\hat{P}(⋅)$仍然遵守$P(⋅)$的诸多性质

<aside> ⭐ Laplace's Rule of Succession

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这就说明对于一个什么额外信息都没有的Random Variable，仅仅从经验角度评判那么它将符合Beta(1,1)分布

如果你问难道从直觉上来讲不应该是$\frac{N_A}{N}$吗，确实从直觉上来说这个是最简单直接的。但是这个式子缺点在于，这个式子非常受前几次实验的影响：如果前几次A都没发生，那么概率一直都是0。问题的根源在于相信一个事件（没有任何关于这个事件的信息）发生与否应该是均等的。